`-restricted Q-systems and quantum affine algebras

Kuniba, Nakanishi, and Suzuki (1994) have formulated a general conjecture expressing the positive solution of an `-restricted Q-system in terms of quantum dimensions of Kirillov-Reshetikhin modules. After presenting this conjecture, we sketch a proof for the exceptional type E6 following our preprint (2013). In types E7 and E8, we prove positivity for a subset of the nodes of the Dynkin diagram, and we reduce the positivity for the remaining nodes to the conjectural iterated log-concavity of certain explicit sequences of real algebraic numbers. Résumé. Kuniba, Nakanishi et Suzuki (1994) ont formulé une conjecture générale qui exprime la solution positive d’un Q-system `-restreint en fonction des dimensions quantiques de certains modules de Kirillov-Reshetikhin. Après avoir présenté cette conjecture, nous donnons une idée de la preuve pour le type exceptionnel E6, selon notre preprint (arXiv, 2013). En types E7 et E8, nous démontrons la positivité pour certains sommets du diagramme de Dynkin, et nous réduisons la positivité, pour les sommets restants, à une conjecture de log-concavité itérée concernant certaines suites explicites de nombres algébriques.